连接线段 OA, OD, OF, AC, AF, AG, CH, CE.
OD, CE 相交于 K,
以下事实是容易证明的:
A, O, D, H 共线;
AC = a√3; (AC 实为 3 等分圆的取点半径, 对应圆心角为 120°)
AG = OF = a√2; (见详证●)
G 在 OF 上, 且 OG ⊥ OA; (见详证●)
HK² = CH² - CK² = 2a² - 3a²/4 = 5a²/4; (见详证①)
HK = a√5/2;
HO = (√5-1)a/2. (见详证②)
因此, HO 长是圆的内接正十边形的边长(见详证③ 第1.节)在半径为 a 的圆中, 内接正五边形的边长(见详证③ 第2.节)
m = a√((5-√5)/2)
m² = a²(5-√5)/2
GH² = HO² OG² = ((√5-1)a/2)² a² = a²(6-2√5)/4 a² = a²(5-√5)/2
∴ GH = m, 即 GH 为内接正五边形的边长
以下为中间过程或引理详细证明:
由作法易知, A, B, C, D, E 都是圆的 6 等分点, AD 为直径,
由 F 的作法易证 OF ⊥ AD (AF = DF => △FAD 为等腰三角形, 底边 AD 的中线 OF 必也是高),
AF = AC = a√3,
∴ OF² = AF² - AO² = (a√3)² - a² = 2a² => OF = a√2.
由作法知
AG = OF = a√2
AG² = 2a² = OA² OG²
∠AOG 必为 90°(用勾股定理逆定理证 △AOG 为 Rt△)
∴ G 在 OF 上, 且 OG ⊥ OA;
①证明
CK = AC * sin∠COD = AC * sin30° = a√3 * 1/2 = a√3/2
②证明
易证 CE 垂直平分 OD, 所以 OK = a/2
HO = HK - OK = a√5/2 - a/2 = (√5-1)a/2
③证明: 在半径为 a 的圆中,
1. 内接正十边形的边长为 a(√5-1)/2.
2. 内接正五边形的边长为 a√((5-√5)/2).
如下图, ⊙O 的半径为 a, 圆周上 A, B, D 都是圆周上的十等分点,
AD 为内接正五边形的一条边, 交 OB 于 E.
1. 内接正十边形的边长为 a(√5-1)/2.
易知两半径 OA, OB 所夹圆心角 ∠AOB = 36°,
作 ∠OAB 的角平线交 OB 于 C
易证如下事实:
∠OAC = ∠COB = ∠AOB = 36°;
∠OBA = ∠ACB = 72°;
BC 与 AD 互相垂直平分;
OC = CA = AB = L (设 L 为圆的内接正十边形的边长)
△ACB ∽ △OAB
=> OA:AC = AB:CB
又 CB = OB - OC
∴ a:L = L:(a - L)
L² = a (a-L)
解此方程得正解
L = a(√5-1)/2.
(PS: 事实上, 图中 C 正是半径 OB 的黄金分割点)
2. 内接正五边形的边长为 a√((5-√5)/2)
根据相似三角形比例关系可得
BC = AB (√5-1)/2 = a(√5-1)/2 * (√5-1)/2 = a(3-√5)/2
BE = BC/2 = a(3-√5)/2/2 = a(3-√5)/4
AE² = AB² - BE²
AD² = (2AE)² = 4AE² = 4AB² - 4BE²
= 4(a(√5-1)/2)² - 4(a(3-√5)/4)²
= a²(5-√5)/2
∴ AD = a√((5-√5)/2)没这么麻烦
图：
